Zawartość
Gdybyś miał zrobić kwadrat i narysować dwie ukośne linie, przecinałyby się w jego środku i tworzyły cztery trójkąty prostokątne; dwie linie przecinają się pod kątem 90 stopni. Można intuicyjnie odkryć, że te dwie przekątne w sześcianie, każda biegnąca od jednego rogu do drugiego i przecinająca się w środku, mogą również przecinać się pod kątem prostym; ale to byłby błąd. Określenie kąta, pod jakim przecinają się dwie przekątne, jest nieco bardziej skomplikowane niż na pierwszy rzut oka, ale dobrą praktyką jest zrozumienie zasad geometrii i trygonometrii.
Krok 1
Określ długość krawędzi jako jednostkę. Z definicji każda krawędź sześcianu ma długość równą wilgotności.
Krok 2
Użyj twierdzenia Pitagorasa, aby określić długość przekątnej biegnącej od jednego narożnika do drugiego po tej samej stronie, którą ze względu na przejrzystość można nazwać „małą przekątną”. Każdy bok utworzonego trójkąta prostokątnego jest jednostką, więc przekątna musi być równa √2.
Krok 3
Użyj twierdzenia Pitagorasa, aby określić długość przekątnej biegnącej od jednego rogu do drugiego, po drugiej stronie sześcianu, którą można nazwać „dużą przekątną”. Będziesz mieć trójkąt prostokątny z jednej strony odpowiadający jednej jednostce i bok równy „mniejszej przekątnej”, co odpowiada pierwiastkowi kwadratowemu z dwóch jednostek. Kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów boków, więc przeciwprostokątna musi wynosić √3. Każda przekątna biegnąca od jednego rogu do drugiego po drugiej stronie sześcianu jest równa √3 jednostkom.
Krok 4
Narysuj prostokąt, który będzie reprezentował dwie większe przekątne przez środek sześcianu i zastanów się, czy należy znaleźć kąt ich przecięcia. Ten prostokąt musi mieć wysokość 1 jednostki i szerokość √2 jednostki. Większe przekątne przecinają się w środku tego prostokąta i tworzą dwa różne typy trójkątów. Jeden z nich będzie miał bok równy 1 jednostce, a dwa pozostałe równe √3 / 2 (połowa długości większej przekątnej). Drugi będzie miał dwa boki równe √3 / 2, ale pierwszy będzie miał √2. Wystarczy przeanalizować jeden z trójkątów, wybrać pierwszy i odkryć nieznany kąt.
Krok 5
Użyj wzoru trygonometrycznego „c² = a² + b² - 2ab x cos C”, aby znaleźć nieznany kąt tego trójkąta. „C = 1”, „b” i „a” są równe √3 / 2. Umieszczając te wartości w równaniu, okazuje się, że cosinus kąta wynosi 1/3. Odwrotność cosinusa 1/3 odpowiada kątowi 70,5 stopnia.