Zawartość
Nasze nowoczesne rozumienie kardynalności pochodzi z prac Georga Cantora w latach 90. XIX w. Zestawy mogą mieć trzy typy kardynalne: skończone, policzalne i niepoliczalne. Skończone zestawy mogą mieć przypisany konkretny numer, taki jak ich liczność: liczba elementów w zestawie. Zarówno policzalne, jak i niezliczone zestawy są nieskończone. Cantor był pierwszym matematykiem, który wskazał, że cechą nieskończonego zbioru jest to, że można go umieścić w korespondencji jeden-do-jednego, z własnym podzbiorem.
Instrukcje
-
Podaj konkretną liczbę dla zbioru liczności, jeśli jest skończona. Dla tych zestawów liczność jest liczbą obiektów w niej zawartych. Dla nieskończoności niemożliwe jest wyznaczenie określonej liczby dla liczności - możemy użyć tylko jednego słowa opisowego. Podzbiór zbioru to taki, który zawiera niektóre - ale nie wszystkie - ustawione liczby, ale żaden z nich nie znajduje się w nim. Na przykład podzbiór liter w alfabecie portugalskim to litery w słowie „banan”. W przypadku zbiorów skończonych odpowiednie podzbiory są mniejsze niż zbiór. Co nie jest prawdą w przypadku nieskończonych zbiorów.
-
Zacznij od określonego elementu zestawu i zachowaj na zawsze, w określony sposób, wyliczenie wszystkich elementów zestawu. To jest definicja rozliczania nieskończonego zbioru. Kluczową cechą jest to, że istnieje algorytm do wiecznego wyświetlania wszystkich elementów. Archetypowym policzalnym nieskończonym zbiorem jest zbiór liczb całkowitych. Zacznij od „jeden” i kontynuuj od następnego numeru sekwencyjnego. Nie możesz podać numeru liczności, powiesz tylko, że jest wieczny. Zauważ, że dla każdej liczby całkowitej jest odpowiednia liczba parzysta, która będzie dwa razy większa. Jest tyle liczb całkowitych, ile jest liczb parzystych. Między zestawem a odpowiednim podzbiorem tego zestawu istnieje dopasowanie jeden do jednego.
-
Porównaj zestaw z liczbami od zera do jednego, aby zobaczyć, czy jest niezliczony nieskończony. Nie możesz zacząć ich liczyć, ponieważ nie ma „następnej” liczby po liczbie od zera do jednego. Cantor dał przykład, aby pomóc w intuicyjnym zrozumieniu niezliczonych zestawów: punktów i linii. Punkty nie są długie ani szerokie, nawet jeśli linia składa się z punktów. Jeśli linie są nieskończonością punktów, długość linii wynosiłaby 0 + 0 + 0 i tak dalej, na zawsze. Linie muszą mieć niezliczoną liczbę punktów.
Jak
- Test Cantora polega na sprawdzeniu, czy dwa zestawy mają taką samą liczność, jeśli elementy zestawu można dopasować jeden po drugim.
Uwaga
- Arytmetyka będzie działać tylko dla skończonych zbiorów. Jeśli N jest zarówno policzalne, jak i niezliczoną nieskończonością, N + 1 = 200N = N + N = N.